Питання до заліку з математики

Питання  до заліку  з геометрії  ( 9 - Ф  клас )

2017-2018 навчальний рік (ІІ семестр)

Тема: Декартові координати на площині

Початкову DOCX-версію можна завантажити звідси 

1.      Координати точки на площині. Доведення формули відстані між точками координатної площини.

2.      Координати точки, яка поділяє відрізок у заданому відношенні. Координати центроїда трикутника (з доведенням).

3.      Доведіть критерій паралелограма у координатній формі. Як довести, що чотирикутник із заданими вершинами є: а) ромбом; б) прямокутником; в) квадратом.

4.      Рівняння фігури на площині. Довести теорему про рівняння кола. Взаємне розміщення двох кіл на площині. Нерівність, що задає круг.

5.      Довести теорему про рівняння прямої. Розміщення прямої відносно системи координат.

6.      Задача №335 (опорна). Рівняння прямої у «відрізках».

7.      Рівняння прямої, що проходить через дві задані точки.

8.      Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом. Геометричний зміст кутового коефіцієнта.

9.      Сформулюйте і доведіть теореми про паралельність та перпендикулярність прямих.

10.  Доведіть формулу відстані від точки до прямої.

11.  Задача №361 (опорна). Умова перпендикулярності прямих.

Тема: вектори на площині

1.      Основні  поняття та їх означення: вектор як напрямлений відрізок,      довжина (модуль, абсолютна величина) вектора,  нульовий вектор, колінеарні  вектори,  однаково напрямлені та протилежно напрямлені вектори, рівні вектори, протилежні вектори.

2.      Сформулюйте й доведіть критерій рівності векторів.

3.      Координати  вектора.  Сформулюйте й доведіть теорему про координати вектора, заданого двома точками.

4.      Сума векторів.  Властивості додавання векторів. Правило “трикутника”  і правило “паралелограма”  для додавання двох векторів. Правило “многокутника” для додавання векторів.

5.      Сформулюйте й доведіть теорему про координати суми двох векторів.

6.      Віднімання векторів.  Доведіть теорему про координати різниці двох векторів.

7.      Множення вектора на число: означення та властивості.

8.      Сформулюйте й доведіть теорему про координати вектора  .

9.      Сформулюйте й доведіть критерій колінеарності векторів.

10.  Сформулюйте й доведіть теорему про розкладання вектора за двома неколінеарними векторами.

11.  Поняття про проекцію вектора на вісь.  Базис.  Координати вектора в даному базисі.

12.  Доведіть теорему про  поділ відрізка в даному відношенні ( векторна формула).  Векторна формула середини відрізка. Критерій колінеарності трьох точок.

13.  Доведіть векторну формулу центроїда трикутника.

14.  Якщо точки M  і N  - середини відрізків AB і CD, то                            .

15.  Відрізки АА₁, BB₁, CC₁ – медіани трикутника АВС, які перетинаються в точці М. Доведіть, що:

16.  а) ;

17.  б) ;

18.  в) з відрізків АА₁, BB₁, CC₁ можна скласти трикутник.

19.  Означення величини кута між векторами. Скалярний добуток векторів та його основні властивості. Доведіть критерій перпендикулярності векторів.

20.  Доведіть теорему про обчислення скалярного добутку векторів за допомогою їх координат. Наслідок.

21.  Геометричний зміст коефіцієнтів у загальному рівнянні прямої. Вектор-нормаль прямої. Напрямний вектор прямої.

22.  Двовимірний варіант нерівності Коші-Буняковського.

Питання до заліку з алгебри ( 9 клас )

Тема: Послідовності. Арифметична прогресія. Геометрична прогресія.

Арифметична прогресія.

1.      Означення числової послідовності. Способи завдання послідовності. Приклади. Зв'язок числової послідовності з функцією.

2.      Властивості числової послідовності. Означення зростаючої послідовності, спадної  послідовності, обмеженої  послідовності. Приклади.

3.      Доведення методом математичної індукції.

4.      Означення арифметичної прогресії. Різниця арифметичної прогресії. Зростаючі та спадні арифметичні прогресії (приклади). Доведення формули n-го члена арифметичної прогресії.

5.      Довести першій критерій арифметичної прогресії.

6.      Довести властивості членів арифметичної прогресії.

7.      Характеристична властивість арифметичної прогресії. Довести другий критерій арифметичної прогресії. Узагальнена характеристична властивість арифметичної прогресії.

8.      Перша і друга формули суми перших n членів арифметичної прогресії. Доведення другої формули суми перших n членів арифметичної прогресії методом  математичної індукції.

9.      Довести третій критерій арифметичної прогресії.

Геометрична прогресія.

1.      Означення геометричної прогресії. Різниця геометричної прогресії. Зростаючі та спадні геометричні прогресії (приклади). Доведення формули n-го члена арифметичної прогресії.

2.      Характеристична властивість геометричної прогресії. Довести перший критерій арифметичної прогресії.

3.      Довести другий критерій геометричної прогресії.

4.      Довести властивості членів геометричної прогресії.

5.      Формула суми перших n членів геометричної прогресії. Доведення формули суми перших n членів геометричної прогресії методом  математичної індукції.

6.      Довести третій критерій геометричної прогресії.

7.      Нескінчена геометрична прогресія : означення та приклади. Доведення формули суми нескінченої геометричної прогресії.